Question

ملخص قواعد قابلية القسمة على جميع الأعداد بطريقة سهلة من العدد 2 إلى قابلية القسمة على 31 

 قواعد قابلية القسمة على كل الأعداد 2 و 3 و 4 و7و11و13و17و19و23و29و31

نرحب بكم زوارنا الاعزاء على موقع المعلم الناجح يسرنا بزيارتكم في موقع المعلم الناجح almalnaajih أن نقدم لكم حل السؤال الذي يقول قواعد قابلية القسمة على كل الأعداد 2 و 3 و 4 و7و11و13و17و19و23و29و31

الإجابة هي كالتالي 

قابلية القسمة على كل الأعداد 2 و 3 و 4 و7و11

و13و17و19و.......

1 ) قابلية القسمة على 2 

يقبل عدد ما القسمة على 2 إذا كان آحاده صفر أو عدداً زوجياً 

2 ) قابلية القسمة على 3 

يقبل عدد ما القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 

3 )قابلية القسمة على 4 

يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4 

4 ) قابلية القسمة على 5 

يقبل عدد ما القسمة على 5 إذا كان آحاده ( 0 أو 5 ) 

5 ) قابلية القسمة على 6 

يقبل عدد ما القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على ( 2 و 3 معا ) 

6 ) قابلية القسمة على 7 و 13 و ستجده في النهاية.. 

7 ) قابلية القسمة على 8 

يقبل عدد ما القسمة على 8 إذا كان ( الآحاد + 2 × العشرات + 4 × المئات ) يقبل القسمة على 8   

8 ) قابلية القسمة على 9 

يقبل عدد ما القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9 

9 ) قابلية القسمة على 10 

يقبل عدد ما القسمة على 10 إذا كان آحاده صفر 

10 ) قابلية القسمة على 11 

يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان 

الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 ) 

مثال: 1296845 (مجموع المراتب الفردية= 5+8+9+1=23) - (مجموع المراتب الزوجية = 4+6+2=12)= 11 

أو يمكن طرح كل منزلتين متتاليتين وجمع الناتج 

( 5 – 4 ) + ( 8 – 6 ) + ( 9 – 2 ) + ( 1 – 0 ) = 11 وهو يقبل القسمة على 11 

11 ) قابلية القسمة على ضرب عددين أوليين فيما بينهما 

يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما 

24 يقبل القسمة على 2 , 3 إذن 24 يقبل القسمة على 6 

  45 يقبل القسمة على 5 , 3 إذن 45 يقبل القسمة على 15 

إذا كان العدد يقبل القسمة على 3 و 4 فإنه يقبل القسمة على 12 

إذا كان العدد يقبل القسمة على 2 و 9 فإنه يقبل القسمة على 18 

وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى بإتباع القاعدة السابقة 

ملاحظة: ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4 

وهذا لا يعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة على 8 لأن 2 ، 4 غير أوليين فيما بينهما 

12 ) قابلية القسمة على 25 

يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو كان كلاً من رقمي الآحاد والعشرات صفراً . 

13 ) قابلية القسمة على 7 و 11 و 13 معاً وأيضا على 1001 

أي عدد مكون من ستة منازل (مراتب آحاد عشرات . . . ) إذا تكررت الأرقام الثلاث بالتتالي كان يقبل القسمة على 1001 

وهو أيضا يقبل القسم على كل من الأعداد الأولية 7 ، 11 ، 13 لأن 1001 = 7 × 11 × 13 

مثاله ( 123123 ) و ( 469469 ) و ( 775775 ) تقبل القسمة على (7 ، 11 ، 13 ) وعلى جداء أي أثنين منها فهي تقبل القسمة على 77 ، 143 ، 91 . . . 

قابلية القسمة على 7 

المبدأ العام : 

إذا كان س مضاعف للعدد ك وكان س + ص مضاعفاً للعدد ك فإن ص مضاعف لـ ك 

البرهان بسيط وهو :

س = ن 1 × ك ، س + ص = ن 2 × ك ـ ص = ( ن 2 - ن 1 ) × ك 

ك ، ن1 ، ن2 أعداد صحيحة 

والآن أي عدد مهما كان عدد مراتبه ( منازله آحاد ، عشرات ، مئات ، ألوف ، ....... ) 

نأخذ الآحاد ونسميه ب ثم نأخذ العدد المتبقي ونسميه حـ 

أي عدد مهما كان عدد مراتبه يكتب على الشكل: ب + 10 حـ 

أي عدد ب + 10 حـ 

نأخذ 2 × ب - حـ 

نأخذ 2 × ب - حـ 

نأخذ 2 × ب - حـ 

------------------- نجمع الأعداد السابقة الأربع 

لنجد 7 × ب + 7 حـ وهذا يقبل القسمة على 7 

إذن إذا كان ( 2 × ب - حـ ) يقبل القسمة على 7 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 7 

مثال1: 105 ،ب = 5 ، جـ = 10 ، 2 × ب - حـ = 0 وهو من مضاعفات 7 فالعدد 105 يقبل القسمة على 7 

مثال2: 875 يقبل القسمة على 7 لأن ب= 5 ، حـ = 87 و 2× ب - حـ = 77 يقبل القسمة على 7 

مثال3: 5782 يقبل القمة على 7 تطبق القاعدة ذاتها مرتين متتاليتين :

الأولى: 4 - 578 = - 574 نطبق القاعدة على العدد الناتج دون النظر للإشارة أي |العدد |

الثانية: 8 - 57 = - 49 وهو يقبل القسمة على 7 إذن 5782 يقبل القسمة على 7 

مثال4 : هل 30527 يقبل القسمة على 7 

تطبق القاعدة على التتالي 

    1 ) 3052 – 14 = 3038 

     2 ) 303 – 16 = 287 

     3 ) 28 – 16 = 14 وهو من مضاعفات العدد 7 

ملاحظة : يمكن أن نأخذ ( حـ - 2 × ب ) بدلا من ( 2 × ب - حـ ) لأن الفرق بالإشارة فقط 

أي عدد يجزأ إلى جزأين الأول ب = أحاد العدد والجزء الثاني حـ = العدد الناتج من حذف رقم الآحاد 

إذا كان العدد: حـ - 2 × ب من مضاعفات 7 فإن العدد المجزأ يقبل القسمة على 7 

14 ) يقبل عدد ما القسمة على 7 إذا كان 2 × ب - حـ يقبل القسمة على 7 

15 ) يقبل عدد ما القسمة على 13 إذا كان 4 × ب + حـ يقبل القسمة على 13 

16 ) يقبل عدد ما القسمة على 17 إذا كان حـ - 5 × ب يقبل القسمة على 17 

17 ) يقبل عدد ما القسمة على 19 إذا كان 2 × ب + حـ يقبل القسمة على 19 

18 ) يقبل عدد ما القسمة على 23 إذا كان 7 × ب + حـ يقبل القسمة على 23 

19 ) يقبل عدد ما القسمة على 29 إذا كان 3 × ب + حـ يقبل القسمة على 29 

20 ) يقبل عدد ما القسمة على 31 إذا كان حـ - 3 × ب يقبل القسمة على 31 

ويمكن بنفس الطريقة إيجاد قابلية القسمة على أي عدد

Answer 1

قابلية القسمة ابتدائية
قابليه القسمه

اولاً : ►قابلية القسمة على 2 ◄
) يقبل عدد ما القسمة على 2 اذا كان آحاده يقبل
القسمة على 2 .او اذا كان العدد زوجى

ثانياً : ►قابلية القسمة على 3◄
يقبل عدد ما القسمة على 3 اذا كان مجموع
أرقامه يقبل القسمة على 3 .

ثالثاً : ►قابلية القسمة على 4 ◄
يقبل عدد ما القسمة على 4 اذا كان
مجموع كلاً من آحاده وضعف عشراته يقبل القسمة على 4 .

او : يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان
العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4 .

رابعاً : يقبل عدد ما القسمة على خمسة اذا كان آحاده 0 او 5 .
خامساً : يقبل عدد ما القسمة على 6 اذا كان يقبل القسمة على
2 ، 3 معاً .

سادساً : ►قابلية القسمة على سبعة◄

يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان مجموع
سالب ضعف الآحاد الى العدد الأصلى ( بعد حذف الآحاد )
يقبل القسمة على 7 :

سابعاً : ►قابلية القسمة على 8 ◄
يقبل عدد ما القسمة على 8 إذا كان
( الآحاد + 2 × العشرات + 4 × المئات ) يقبل القسمة على 8

ثامناً : ►قابلية القسمة على 9 ◄
يقبل عدد ما القسمة على 9 اذا كانت مجموع
ارقامه تقبل القسمة على 9 .

تاسعاً : ►قابلية القسمة على 11 ◄
يقبل عدد ما القسمة على 11 اذا كانت مجموع
ارقامه ( بإشارات مختلفة ) تقبل القسمة على 11 .

وايضاً : يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية
( 0 أو يقبل القسمة على 11 )

عاشراً : ►قابلية القسمة على ضرب عددين أوليين فيما بينهما ◄

يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان
يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24 يقبل القسمة على 2 , 3 إذن 24 يقبل القسمة على 6
45 يقبل القسمة على 5 , 3 إذن 45 يقبل القسمة على 15

إذا كان العدد يقبل القسمة على 3 و 4 فإنه يقبل القسمة على 12

إذا كان العدد يقبل القسمة على 2 و 9 فإنه يقبل القسمة على 18

وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى
بإتباع القاعدة السابقة

ملاحظة: ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لا يعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة
على 8 لأن 2 ، 4 غير أوليين فيما بينهما

11 ) ►قابلية القسمة على 25 ◄
يقبل عدد ما القسمة على 25 اذا كان آحاده + 5×( عشراته )
يقبل القسمة على 5 .
او :
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون
من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو كان
كلاً من رقمي الآحاد والعشرات صفراً .

►قابلية القسمة على 13◄

يقبل عدد ما القسمة على 13 اذا تحقق
ب - 9( آحاده ) يقبل القسمة على 13
والأسهل من ذلك هو : يقبل عدد ما القسمة على
13 إذا كان ب + 4(آحاده) يقبل القسمة على 13

حيث ب : تعنى العدد نفسه بعد حذف الآحاد منه .

►قابلية القسمة على 17◄

يقبل عدد ما القسمة على 17 اذا كان
العدد ( بعد حذف آحاده) - 5×آحاده
يقبل القسمة على 17 .

مثال1) 2278 يقبل القسمة على 17 لأن :

227 - (5×8) = 187 وبتكرار الخوارزمية مرة ثانية

18 - (7×5) = -17 وهو المطلوب .

►قابلية القسمة على 19◄

يقبل عدد ما القسمة على 19 اذا كان :
العدد الأصلى ( بعد حذف الآحاد) + 2×آحاده
يقبل القسمة على 19 :
لاحظ : انها حالة تشبه قابلية القسمة على 7 ايضاً
لكن الإشارة هنا ( + ) فقط .

مثال 1) 323 تقبل القسمة على 19 لأن :

32 + 6 = 38 = 2×19

مثال2) 976 لا تقبل القسمة على 19 لأن :

97 + 12 = 109 بتكرار الخوارزمية مرة ثانية

10 + 18 = 28 لا تقبل القسمة على 19 .

►قابلية القسمة على 23◄

يقبل عدد ما القسمة على 23 اذا كان :
العدد (بعد حذف الآحاد) + 7×آحاد
يقبل القسمة على 23 .

مثال) 13754 يقبل القسمة على 23 لأن :

1375 + (4×7) = 1403 ، بالتكرار مرة ثانية

140 + (3×7) = 161 ، بالتكرار مرة ثالثة ..

16 + (1×7) = 23

لذلك العدد الأصلى : 13754 يقبل القسمة على 7 .

► قابلية القسمة على 29◄

يقبل عدد ما القسمة على 29 اذا تحقق :
العدد (بعد حذف الآحاد) + 3×الآحاد
يقبل القسمة على 29 .

مثال) 17023 يقبل القسمة على 23 لأن :

1702 + (3×3) = 1711 ، بالتكرار مرة ثانية

171 + 3 = 174 بالتكرار مرة ثالثة ..

17 + (3×4) = 29

►قابلية القسمة على 31◄
يقبل عدد ما القسمة على 31 اذاً تحقق :
العدد (بعد حذف الآحاد) - 3×الآحاد
يقبل القسمة على 31 .

مثال) 216597 يقبل القسمة على 31 لأن :

21659 - (3×7) = 21638 بالتكرار مرة ثانية

2163 - (3×8) = 2139 بالتكرار مرة ثالثة ..

213 - (3×9) = 186 بالتكرار مرة رابعة ..

18 - (3×6) = 0 ، ولأن الصفر يقبل القسمة على 31

لذلك العدد الأصلى : 216597 يقبل القسمة على 31

►قابلية القسمة على 37◄

يقبل عدد ما القسمة على 37 اذا تحقق :
العدد (بعد حذف آحاده) - 11×آحاده
يقبل القسمة على 37 .

مثال : 24346 يقبل القسمة على 37 لأن :

2434 - (11×6) = 2368 بالتكرار مرة ثانية

236 - (8×11) = 148 بالتكرار مرة ثالثة..

14 - (8×11) = -74 = -2×37

►قابلية القسمة على 41◄
يقبل عدد ما القسمة على 41 اذا تحقق :
العدد (بعد حذف آحاده) - 4×آحاده
يقبل القسمة على 41 .

مثال : 28167 يقبل القسمة على 41 لأن ..

2816 - (4×7) = 2788 ، بالتكرار مرة ثانية

278 - (4×8) = 246 ، بالتكرار مرة ثالثة ..

24 - (6×4) = 0

►قابلية القسمة على 43◄
يقبل عدد ما القسمة على 43 اذا تحقق :
العدد(بعد حذف آحاده) + 13×آحاده
يقبل القسمة على 43 .

مثال:) 30014 يقبل القسمة على 43 لأن :

3001 + (4×13) = 3053 بالتكرار مرة ثانية..

305 + (3×13) = 344 بالتكرار مرة ثالثة ..

34 + (4×13) = 86 = 2(43)

اى انها من مضاعفات 43 ، وبما انها من مضاعفات
43 اذاً تقبل القسمة عليها ..

►قابلية القسمة على 47◄
يقبل عدد ما القسمة على 47 اذاً تحقق :
العدد (بعد حذف آحاده) - 14× آحاده
يقبل القسمة على على 47 .

مثال ) 44509 يقبل القسمة على 47 لأن :

4450 - (9×14) = 4324 ، بالتكرار مرة ثانية..

432 - (4×14) = 376 ، بالتكرارة مرة ثالثة ..

37 - (6×14) = -47 ( وهو المطلوب )

░ مثال آخير يضم بعض افكار ما سبق ░

بين ان : 691845 يقبل القسمة على 105

افضل طريقة من وجهة نظرى هى التحليل
لكن احياناً عندما تكون سريع فى اختبار
قابلية القسمة فإن الطريقة الثانية تكون
مناسبة لك .. الآن نريد اختبار القسمة
على 105 .. ولكن 105 ليس عدد أولى
بتحليل 105 الى عواملها الأولية ..

105 = 3×5×7

اذاً كأن السؤال هو : بين ان :691845
يقبل القسمة على 3 ، 5 ، 7 معاً .

العدد : 691845 يقبل القسمة على 3 لأن
مجوع الأرقامه تقبل القسمة على 3 .

العدد : 691845 يقبل القسمة على 5 لأن آحاده 5 .

العدد : 691845 يقبل القسمة على 7 لأن :

69184 - (5×2) = 69174 بالتكرار مرة ثانية ..

6917 - (4×2) = 6909 بالتكرار مرة ثالثة ..

690 - 18 = 672 بالتكرار مرة رابعة ..

67 - 4 = 63 بالفعل تقبل القسمة على 7

لاحظ : 63 ÷ 7 = 9

اذاً : العدد 691845 يقبل القسمة على 105 .

يجذر الإشارة الى انه عند اختبار قابلية القسمة على 7
للأعداد الكبيرة حيث يصعب تكرار الخوارزمية مثلاً 17 ، او 20
او 30 او 50 مرة ..... الخ

وهنا نشير الى مجموع باسكال، وكمثال تطبيقى

اثبت ان العدد : 2739873661 يقبل القسمة على 7

سير العمليات يتطلب من ان تقوم بجمع هذه الأرقام
جميعاً .. لكن بشرط .. ماهو ؟؟
بعد ضرب الآحاد فى 1 ، العشرات فى 3 ، المئات فى 2
ثم تكرر نفس الخطوات مع الثلاثة خانات التى تليها
لكن بإشارة مخالفة .. يعنى - الألوف - 3× عشرات الألوف
- 2 × مئات الاولف .. ثم تكرر نفس الخطوات مع الثلاث
خانات التى تليها لكن بإشارة (+) ... وهكذا الى ان تأتى
بآخر رقم على يسار العدد .. ثم اجمع كل هذه العمليات
بحيث اذا كان المجموع يقبل القسمة على 7 كان العدد
الأصلى يقبل القسمة كذلك على 7 .

2739873661 (( رتب حلولك فى اقواس جيداً ))

(1+ 3×6 + 2×6) - (3 + 3×7+ 2×8)
+ (9 + 3×3 + 2×7) -2

= 21 يقبل القسمة على 7 .. اذاً

2739873661 يقبل القسمة على 7 بدون باقٍ .

► تفسير الطريقة◄

نفرض ع عدد صحيح بحيث ان :

ع = أ₀ + أ₁ (10)¹ + أ₂ (10)² + ... + أر (10)^ر

ثم ندرس انظمة بواقى قوى العدد عشرة .

1 ≡ 1 (مود 7)
10 ≡ 3 (مود 7)
(10)² ≡ 2 (مود 7)
(10)³ ≡ -1 (مود 7)
(10)^4 ≡ -3 (مود 7)
(10)^5 ≡ -2 (مود 7)
(10)^6 ≡ 1 (مود 7)
(10)^7 ≡ 3 (مود 7)
(10)^8 ≡ 2 (مو9 7)

.
.
.
وهكذا استمر الى مالانهاية لتجد انك امام متتابعة
تكرر نفسها كل ثلاث خطوات على التوالى
1
3
2
ثم
-1
-3
-2

واذا ما اخذنا سالب واحد عامل مشترك يتبين ان
الإشارة ما بين الاقوس فقط تتغير هكذا + - + - + ....

Answer 2

قواعد قابلية القسمة على كل الأعداد 2 و 3 و 4 و7و11و13و17و19و23و29و31