مسألة P مقابل NP
في العلم الحاسوبي يوجد شيء اسمه (الزمن الخطّي – Polynomial Time) أو P-Time اختصاراً، وهو مبدأ معقد يمكن تبسيطه بتصور الزمن الذي يلزمنا لنمُر على الأعداد من 1 إلى عشرة.. نحن سنمر عليها بالتسلسل. والآن لنتصور زمناً هو مضاعف لهذا الزمن الخطي: مربع الزمن الخطي، أو الجذر التكعيبي للزمن الخطي. هذا الزمن المفترض في علم الرياضيات هو زمن لا-خطي: Non-Polynomial أو NP اختصاراً.
المسألة المعلَّقة، حديثة العهد نسبياً، قدَّمها عالم الحاسوب ستيفن كوك عام 1971م، وتتعلق بإيجاد حلول برمجية -خوارزميات- لحل المعضلات الرياضية. فنحن نكتب للحاسوب برامج على هيئة خطوات متسلسلة تصل في النهاية إلى ناتج هو حل للمسألة. لكن هناك مسائل أعقد من غيرها. بعض هذه المسائل قد لا يكون لها حل، وبعضها قد يكون لها حل، لكن ليس في وقت خطّي أو معقول. هذا يعني أننا نكتب للمشكلات البسيطة برامج تنتهي في وقت معقول وتصل بنا إلى النتيجة الحسابية. في الرياضيات فإن الوقت المستغرق لحل مسألة بشكل «معقول» لا يتجاوز حل معادلة كثيرة الحدود ذات مجهول واحد س.
أما في عالم الحاسوب فهناك مسائل يصعب حلها في وقت خطي. فمثلاً، إذا كان لدينا مجموعة مكونة من الأعداد 10 و5 و-2 و-7 و3 و6، فهل هناك مجموعة من هذه الأعداد يكون مجموعها يساوي صفراً؟ الجواب نعم. يمكن أن نختار مجموعة جزئية منها مكونة من -2 و-7 و3 و6. إن جمع هذه الأعداد المختارة يساوي صفراً. لكن إيجاد برنامج لحل مثل هذه المسألة لن يعمل على الأقرب لحلها في وقت معقول، خصوصاً إذا كان حجم مجموعة الأعداد المعطاة ضخماً.
[color=#8000BF]ما هي المسألة P مقابل NP إذن؟[/color] القسم P من المسألة يقول إننا قد نستطيع أن نجد حلاً للمسألة في وقت معقول. أما القسم NP فيقول إن حل المسألة يتطلب وقتاً غير معقول. بمعنى آخر، هل أن المسائل التي يستغرق التحقق من وجود حل لها وقتاً معقولاً، يستغرق تنفيذ حلها وقتاً معقولاً أيضاً؟
لم يستطع الرياضيون ولا علماء الحاسوب أن يوجدوا برهاناً يؤكد ذلك. وهي مسألة من مسائل معهد (كليه) للرياضيات. لقد تقدَّم فايني دولاليكار من معهد «اتش بي» للأبحاث ببرهان في بداية شهر أغسطس 2010م. وكان خبراً مدوياً في الأوساط العلمية بالإضافة إلى أن فايني كان سيحظى بعد شرف هذا البرهان المرتجى، بمليون دولار أمريكي. لكن الفرحة لم تكتمل، إذ ما إن خرج البرهان مفصلاً على الإنترنت ووصل إلى أيدي المهتمين، حتى تبيَّن لهم أن فيه أخطاءً وزلات فتم رفضه.
إن التوصل إلى برهان يثبت أو ينفي علاقة P بـ NP، سيغيِّر كثيراً من القناعات في مجال الحاسوب. وإذا أمكن البرهنة على توافر حلول ذات وقت معقول للمشكلات من فئة NP، لحصل تقدم في حل مشكلات شبيهة بمشكلة المجموعة الجزئية المذكورة أعلاه، مثل مشكلات فك تشفير الحماية السرية في الإنترنت ومشكلة التنبؤ ببنية البروتين التي قد تحدث تقدماً كبيراً في علم البيولوجيا. أما إذا لم يتم ذلك، فسوف يذهب بالأمل في وجود حلول ذات وقت معقول لتلك المشكلات وسيكون خبراً محبطاً لعلماء الحاسوب، وسيكون مخرجهم الوحيد هو تطوير حواسيب ذات قدرات معالجة متقدمة جداً، لتقليل الوقت الذي يحتاجه الحاسوب لتنفيذ برامج معقدة الخوارزميات من أجل اختصار الوقت والوصول للنتائج.
يقول صاحب المسألة غير المحلولة، ستيفن كوك: «ستكون نقلة للرياضيات إذ إنها ستجعل الحاسوب قادراً على إيجاد برهان لكل نظرية ذات برهان معقول الطول، وذلك لأن كل برهان دقيق يمكن إيجاده في وقت معقول».
مسألة فرضية ريمان
تُعد هذه المسألة من أعظم المسائل وأقدمها، ويقدِّم العلماء حياتهم ويدفعون غالي الثمن ليروها يوماً قد حُلّت. إنها من أصعب الفرضيات التي استعصت على توفر برهان لها. إنها فرضية ريمان (Riemann hypothesis) التي كان قدَّمها عام 1859م. مئة وخمسون عاماً ولم يتقدَّم أحد ببرهان على فرضية من ضمن نتائجها أن تحدد لنا كيف تتوزع الأعداد الأولية في عالم الأرقام.
قبل أن نقترب من هذه الفرضية وخطورتها، لنحاول فهم الأساسيات. العدد الأولي في الرياضيات هو العدد الذي لا يقبل القسمة إلا على نفسه أو على الواحد، مثل الأعداد 1 و2 و3 و5 و7 و11 ... وهذه الأعداد لها الكثير من الخصائص المميزة عدا ما ذكرنا من خاصية قبول القسمة. لم يعرف علماء الرياضيات طريقة يستطيعون من خلالها معرفة توزيع الأعداد الطبيعية وطريقة استخراجها سوى ما قدَّمه ريمان من فرضية ليس عليها برهان. إن الأعداد الاولية ليس لها نظام يحدد كيف تتوزع في خط الأعداد. لكن ريمان قدَّم دالة أطلق عليها اسم «زيتا»، كانت استخرجت عدداً كبيراً من الأعداد الأولية ورسمتها على خط عمودي ثابت.
وقد صمم ريمان «زيتا» هذه بحيث أنه كلما أدخل رقماً أولياً إليها، كان جواب الدالة صفراً. والدالة د (س) = س -1 تكون صفراً عندما نعوِّض عن س بالعدد 1، ونقول في هذه الحالة أن 1 هو صفر لهذه الدالة. لقد تم استخراج حلول لدالة ريمان بما يساوي مليار وخمسائة مليون صفر. والمقصود بذلك، أنه تم حتى اليوم استخراج هذا العدد من الأعداد الأولية، ولكن ليس هناك برهان على أن هذه الدالة ستعمل لكل الأعداد الأولية في خط الأعداد اللانهائي. إن هذه الدالة «زيتا» ليست مختصة بالأعداد الأولية وحسب. إنها تستخرج دائماً أعداداً مركبة من جزئين حقيقي وتخيلي. ومن عجائبها أن العدد الحقيقي عندما يكون صفراً هو دائماً نصف (1/2).
المشكلة أننا في العلم الطبيعي، والرياضيات أنقى درجات العلم، لا يمكن أن نصدِّق بمقولة أو فرضية حتى نبرهن عليها. فتكرار نجاح تجربة ما عدداً كبيراً من المرات، لا يعني بحال من الأحوال صدقها مطلقاً وأبداً. فخلل واحد، أو تجربة تخرج بنتيجة غير متوقعة واحدة، سينسف كل شيء. وفي الرياضيات، لا يمكن قبول المقولات والفرضيات ولا تصل إلى مرحلة نطلق عليها اسم القانون حتى نقدِّم على ذلك برهاناً قاطعاً. وحتى اليوم، لم يظهر برهان على صدق فرضية ريمان، التي بقيت أحد التحديات السبع التي شهرها معهد «كليه» في وجه العالم منذ عام 2000م مقابل مليون دولار أمريكي لمن يقدِّم برهاناً على صدقها.
بالإضافة إلى كون هذه المسألة، من مسائل معهد «كليه» ذات الأولوية والأهمية، فإن مسألة إثباتها كانت المسألة الثامنة في قائمة هلبرت. إن البرهنة على صدق هذه النظرية سيكشف لنا توزيع الأعداد الأولية التي هي حجر الأساس للأعداد والتي يمكن لنا أن نحلل كل عدد إلى أعداده الأولية. إنها ستكشف لنا عن مساحات الفراغ بين كل عدد أولي وآخر. فهناك من يربط نتائج إثبات هذه الفرضية بتطورات في فيزياء الكم وأخطاراً على أمان الإنترنت واكتشاف وسائل التعمية والترميز في صناعة المفاتيح.
لكن، يبدو أن فرضية ريمان هذه صعبة النقض حسب تصور كثير من العلماء، وأنها تعمل بشكل غريب ومدهش. لقد سأل أحدهم ديفيد هلبرت في آخر أيامه عما يريد أن يكون أو عن سؤال يسأله لو عاد إلى الحياة بعد خمسمائة عام، فرد قائلاً: «هل أثبت أحد فرضية ريمان؟». لقد عاش ريمان أربعين عاماً وحسب، والورقات القليلة التي نشرها في الرياضيات غيَّرت وجهها إلى الأبد. ومهَّدت لنظرية آينشتاين في نسبتيه العامة بخصوص ما تحدثنا عنه في الهندسة اللاإقليدية والخطوط المتوازية.
هل حدث أن حلت بعض المسائل المفتوحة؟
لقد تمكن عدد من علماء الرياضيات من بعض هذه المسائل المفتوحة على مر السنوات. ونذكر حكاية بيرلمان، الرياضي الروسي الذي رفض المليون دولار أمريكي جزاء إثباته حدسية «بونكاريه» الشهيرة التي ظلت بلا برهان لقرن من الزمان. وتم حل مسائل أخرى من ضمن المسائل المفتوحة، فتحت آفاقاً جديدة وآمالاً وحركت عزائم علماء الرياضيات لبذل المزيد من الجهد وتوسيع الخيال والإمكانات.
كان برتراند راسل ووايتهيد في وقت قريب من طرح هلبرت للمسائل المفتوحة عام 1900م، قد نشرا كتابهما «أصول الرياضيات»، الذي كان الهدف منه مراجعة كل الرياضيات وتأسيسها مجدداً على أسس أكثر صرامة مبنية على المنطق والبرهان، حتى لأنك تجد برهاناً لـ 1+1=2 في صفحات مفصلة! لقد كشف عمل راسل ووايتهيد أن هناك الكثير من الثغرات والمتناقضات في هذا العلم. وقد قدَّم راسل حلاً لبعض ما اكتشفه من متناقضات. وعندما تقدم كرت جودل لمسائل هلبرت وكانت بين يديه نسخة من كتاب راسل ووايتهيد، ضرب اليقين الذي كانت عليه الرياضيات وتحولت إلى أرضية مهزوزة. كان جودل يريد أن يساعد في حل المسائل، فحل واحدة وانقلب في الثانية ليثبت أن أي نظام رياضي هو غير كامل، وغير متسق كقانون عام قدم عليه البرهان. إن ذلك دفع بعلماء الرياضيات إلى التفكير في بناء أرضية أكثر ثباتاً مما كانت عليه الرياضيات طيلة القرون السابقة.
إن طبيعة الرياضيات تتميز عن طبيعة العلوم الطبيعية الأخرى في كونها علماً متراكم المعارف، يبنى جديد الأفكار فيها على ما تم إثباته مقدماً. وإذا وضعنا بعد الملاحظة والدراسة نظاماً جديداً، فيجب أن نسلم بفرضية من دون مبررات ولا نفترض صحة فكرة هكذا ابتداء. إن المنهج العلمي لهو أساس بارز في تأسيس الفكر الرياضي، ويكون في أقصى درجات الأناقة والتصميم.
وهناك ميزة أخرى من ميزات الرياضيات، وهي أن موضوعاتها ومجالاتها تترابط فيما بينها برباط ينسجها مهما بعدت عن بعضها. وزيادة على ذلك، فإن هذه المجالات والموضوعات قد نركِّبها كعناصر، نجري عليها عمليات أعلى، فتصبح رياضيات جديدة عليها تعمل على رياضيات تحتها. لن يكون ذلك بالطبع ترفاً فكرياً ولا صراعاً على ورق. إنه عالم عجيب من أرقى ما ينتج الفكر الإنساني، ويعود عليه بانعكاسات على الواقع في فهم هذا العالم، واختراع التسهيلات وتسخير التكنولوجيا التي لم تكن ممكنة بدونها. إن أقصى طموحات العلوم الطبيعية المتقدمة التي تفيد من الرياضيات، أن تصل في النظري إلى درجة عليا من الأناقة كهذه.
كانت النسبية ستكتشف قبل أن يكتشفها آينشتاين بأربعين سنة، وكان ريمان قدَّم لها قواعدها الراسخة يوم قدَّم فكرة نموذج للهندسة اللاإقليدية. واليوم، يلتقي الفيزيائيون بالرياضيين الذين خدموهم كثيراً فأسسوا فيزياء جديدة. ويقترح آينشتاين تقديم حلول لمعضلات في نظرية الأعداد، وآخرون يفكرون في حلول لمسألة فرضية ريمان فيما يتعلق بالأعداد الأولية وعلاقتها بمستويات الطاقة في الذرات في عالم فيزياء الكم.
رأينا كيف بدأت الرياضيات، ولمحنا سريعاً كيف تأتي وكيف تخترع بكل هذه الأناقة وكيف يستفاد منها في مجالاتها المتنوعة باختلاف درجة تجريد أفكارها وقربها من التطبيقي.
لقد استغرقنا 2000 عام لكي ندرك أن الهندسة الإقليدية ليست كل شيء، وأن هناك غيرها لم نتصوره. وكم تصورنا ونحن نحدّ عدد المسائل والمعضلات بعدد، أننا اقتربنا من توحيد صيغة واحدة تجعل من الرياضيات حقلاً مترابطاً بشكل تام، فوجدنا أن ذلك نذير خطر بهدم أساس هنا وأساس هناك، وربما نسف كل جهود الإنسانية، ليتطلب منا إعادة بناء كل شيء من جديد.
لم تكن الرياضيات في هدوء منذ نشأتها، بل إن في مسائلها المفتوحة ما زالت مفتوحة لقرون لم تُحل. وبعيداً عن هذه المسائل المفتوحة، ظلت الرياضيات تلمع وتلوح أنيقة صارمة من الخارج، وهي تغلي وتموج من الداخل في حال التأسيس والمراجعة، يؤجج نارها بنُوها من العلماء، وفاءً لها منهم وحباً. بقي أن عجلة تقدم هذه الرياضيات رهينة باتساع معرفة علمائها وجلدهم وقدرتهم على الصبر وسعة الخيال وإصرارهم على فتح مسائل جديدة، ولو اضطرهم ذلك العودة إلى أقصى البدايات.